L'algèbre

Le mot algèbre vient du titre d'un livre, al-jabr wa'l muqabalah, écrit par al-Khwarizmi, vers 830.L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques, indépendamment de la notion de limite (rattachée à l'analyse) et de la notion de représentation graphique (rattachée à la géométrie).

L'algèbre traite des données comme en arithmétique, mais sur un plan plus général

En arithmétique, on utilise des nombres
En algèbre, on utilise des symboles
Les symboles utilisés sont des lettres
Certains usages sont à respecter

• x, y, z sont des inconnues
• a, b, c sont des coefficients sensés être définis
• k, h sont des coefficients multiplicatifs
• n, m sont utilisés pour les puissances

Une lettre conserve la même valeur tout au long du même travail

L’algèbre linéaire

C'est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des systèmes d'équations linéaires (théorie des matrices).

les vecteurs

En mathématiques, le vecteur est un objet véhiculant plus d'information que les nombres usuels, ou scalaires, et sur lequel on peut effectuer des opérations simples.

À l’origine, un vecteur est un objet de la géométrie euclidienne. À deux points, Euclide faisait seulement correspondre leur distance. Or un couple de points porte une charge d'information bien plus grande. Ils définissent aussi une direction et un sens. Le vecteur synthétise l'ensemble de ces informations.

La notion de vecteur peut être définie en dimension 2 (vecteur du plan), 3 (vecteur de l'espace euclidien usuel). Elle se généralise à des espaces de dimension n, ou à des espaces de dimension infinie. C'est sur cette notion, devenue abstraite et introduite par un système d'axiomes, que se fonde la branche des mathématiques appelée algèbre linéaire.

La géométrie euclidienne

La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de droite, de plan, de longueur, d'aire y sont exposées de façon axiomatisée. La conception de la géométrie est alors intimement liée à la vision de l'espace physique ambiant au sens classique du terme.

Les conceptions géométriques subissent, à partir des travaux d'Euclide, des évolutions suivant trois axes principaux :

• Pour vérifier les critères de rigueur logique actuels, la définition axiomatique subit de profonds changements, l'objet mathématique reste néanmoins le même.
• Pour ne plus se limiter aux dimensions deux et trois et pour permettre l'élaboration d'une théorie plus puissante, un modèle algébrique de la géométrie est envisagé. L'espace euclidien est maintenant défini comme un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire.
• Enfin, la structure géométrique euclidienne n'est plus la seule envisageable ; il est maintenant établi qu'il existe d'autres géométries cohérentes. 

Plus de 2 000 ans après sa naissance, l'espace géométrique euclidien est un outil toujours efficace aux vastes domaines d'applications. Par exemple, l'espace des physiciens reste encore principalement du domaine de la géométrie euclidienne, l'astronomie étant l'exception la plus notoire.

A la croisée des chemins et des civilisations, le monde arabe a hérité des avancées réalisées par les civilisations anciennes, et a créée une nouvelle discipline, l'algèbre, en développant des pratiques existantes. Les mathématiques, l'histoire des sciences

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Le traité d'al-Khwarizmi, savant du monde arabe dans la première moitié du VIIIème siècle, marque la naissance de l'algèbre en tant que discipline au sein des mathématiques. Le mot « algèbre » vient d'ailleurs d'un des termes arabes du titre de cet ouvrage « al jabr ». Dans la période pré-islamique, les grecs avaient entamé la théorisation des méthodes de calculs. Il existait en outre des méthodes de calcul utilisées pour les échanges commerciaux, la répartition des héritages et l'arpentage. Cependant de nouveaux besoins liés à l'expansion de l'Islam se sont rapidement fait sentir pour la détermination des heures de prière et l'élaboration de calendriers : il nécessitaient des calculs plus complexes et ont favorisé la naissance de l'algèbre.
Le génie d'al-Khwarizmi a été de réunir dans un même ouvrage toutes les connaissances éparses, le double héritage des grecs anciens à l'occident et de l'Inde en orient, et d'y apporter une unité en créant une discipline nouvelle. Ainsi les traductions des ouvrages grecs ont apporté les méthodes de calculs et de résolution d'équations, alors que la numération indienne présentait des avantages indéniables pour la facilité et la rapidité de manipulation des chiffres.
Par exemple, le chiffre "neuf millions neuf cent quatre vingt dix neuf mille neuf cent quatre vingt dix neuf" nécessite 67 caractères en hiéroglyphes, alors qu'il 7 en chiffres dits arabes. On imagine donc la difficulté d'une simple addition ou pire d'une division avec les premiers !
L'expansion de l'empire arabe entre le 8ème et le 12ème siècle a été de pair avec des échanges intenses entre scientifiques des différentes régions de l'empire. Cela a permis une circulation des connaissances d'est en ouest et vice versa, avec une large diffusion de la science arabe.
C'est ainsi que les connaissances de la Grèce antique nous sont parvenues à travers le temps, grâce au Arabes. De même, les chiffres dits « arabes » que nous utilisons couramment, nous viennent en réalité de l'Inde, par l'intermédiaire des Arabes.

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Il est considéré comme un des plus grands mathématiciens de tous les temps et comme le fondateur des mathématiques arabes. On connaît peu de choses sur sa vie mais ses écrits ont été traduits en latin et diffusés en occident, et ont servi de base à la connaissance mathématique du jusqu'au 14ème siècle. Il utilise et perfectionne le système de numération indien, et la diffusion de ses travaux en occident fait qu'on lui doit le système de numération décimal. Ses travaux auraient été inspirés de ceux de l'indien Brahmagupta.
On lui doit également les mots Algorithme (de son nom) et Algèbre (du mot al-jabr), dont il est à l'origine. Dans son ouvrage "Kitâb al-jabr wa al-muqâbala" (Livre sur la science de la transposition et de la réduction), il résout de façon systématique les équations de degré 2. Dans le traitement des équations tel qu'il le présente,

• al-jabr (de jabara, réduire) correspond à transformer une soustraction dans un membre en une addition dans l'autre membre 
• al-muqabala (face à face) revient à supprimer dans les deux membres l'addition d'un même nombre, équilibrer les valeurs positives restantes.

Il fait allusion aux nombres négatifs mais ne les accepte pas comme solution. S'éloignant de l'arithmétique où la solution est obtenue par différentes méthodes numériques (règles de la fausse position ou de la double fausse position), Al-Khwarizmi nomme cette quantité inconnue et la traiter dans les opérations comme si elle était connue, stratégie tout à fait nouvelle : l'algèbre.
Ses travaux seront poursuivis et développés par ses successeurs (Abul Kamil, Al-Karagi, Al-Samaw'al, Al-Khayyam, ...)

Astronome de Bagdad, il fait traduire les textes grecs dont l'Almageste de Ptolémée et il étudie également l'astronomie et établit notamment des tables astronomiques indiquant les futures positions des astres.

Un signe pour écriture

Les plus anciens signes d'écriture ont été retrouvés essentiellement à Uruk (actuelle Warka, en Irak), ancienne capitale du pays de Sumer ; on les a datés d'environ 3300 avant J.-C. L'apparition de l'écriture coïncide avec l'essor des villes, dans des sociétés en mutation, où viennent de pénétrer l'invention de la roue et la technique du cuivre moulé et qui possèdent déjà tout un répertoire de signes et de symboles dans leurs arts plastiques.

Il y a plus de cinq mille ans, coexistaient de part et d'autre du Tigre deux pays

• Sumer, entre le Tigre et l'Euphrate et
• Élam, à l'est du Tigre, dont la capitale était Suse (en Iran aujourd'hui).

Organisées sous l'autorité d'un souverain, les populations étaient urbanisées et composées d'administrateurs, de marchands, d'artisans, de paysans et de bergers, qui pratiquaient tout type d'échanges, administratifs ou commerciaux.
L'écriture est née surtout de la nécessité ressentie par ces hommes de conserver la trace de leurs échanges. Ce sont les Sumériens qui finalisent le système, les Élamites n'allant pas au-delà de leurs propres pictogrammes et empruntant plus tard le modèle sumérien pour noter leur langue.

Des calculi à l'écriture cunéiforme

l'homme a su compter avant de savoir écrire Pour enregistrer leurs opérations comptables, Élamites et Sumériens utilisent un système de jetons modelés dans l'argile (calculi), de taille et de forme différentes selon la valeur convenue, portant parfois des indications de nombre sous forme de traits incisés. Ces jetons sont glissés dans une sphère creuse en argile façonnée au préalable autour du pouce, sur laquelle est apposé un sceau cylindrique identifiant le propriétaire. Ainsi, par exemple, si la bulle de terre contient le dénombrement d'un troupeau confié à un berger, lorsque celui-ci le ramènera il suffira de briser la bulle pour vérifier qu'aucune bête ne manque.

Vers 3300 avant J.-C., on appose sur la sphère, à côté du sceau, un résumé de son contenu : on n'est plus obligé de la casser au moment du contrôle. Les jetons numériques deviennent alors inutiles, les sphères s'aplatissent, se transforment en tablettes et les premiers chiffres apparaissent : ce ne sont encore que des encoches plus ou moins fines, plus ou moins grandes selon la valeur attribuée, des empreintes en forme de cône ou de cercle. Une véritable écriture apparaît alors qui continue à se perfectionner sans cesse, transcrivant au plus près la langue sumérienne ; puis elle s'adapte à des langues étrangères :

• sémitiques comme l'akkadien,
• indo-européennes comme le hittite,
• caucasiennes comme le hourrite.

Simples dessins représentant schématiquement les marchandises ou objets de la transaction les premiers pictogrammes ont qu'une fonction de « signe-image ».Ces pictogrammes sont associés les uns aux autres pour exprimer une action ou une idée, par exemple l'association de celui de l'oiseau et de celui de l'œuf pour écrire « fécondité » : c'est un idéogramme ou « signe-idée ».

oiseau + œuf = fécondité


Vers 3000 avant J.-C., des pictogrammes ou des idéogrammes sont également utilisés pour leur valeur phonétique, un signe correspondant à une syllabe ou « signe-son ».; l'écriture est ainsi, en quelque sorte, mise en conformité avec la langue. Les signes vont basculer de quatre-vingt-dix degrés vers la gauche et le graphisme change : les lignes courbes, difficiles à tracer sur l'argile molle, sont décomposées en lignes droites que le scribe ne grave plus, mais imprime à l'aide d'un calame, tige de roseau à bout triangulaire, laissant des empreintes en forme de coins : c'est la graphie cunéiforme (du latin cuneus: coin, clou), née à Sumer.

Ainsi se perfectionnant sans cesse, l'écriture transcrit au plus près la langue sumérienne : en évoluant du « signe-image » au « signe-son » et en devenant cunéiforme, l'écriture passe de la notation aide-mémoire à l'enregistrement de contrats, de documents économiques, administratifs, religieux, voire même de textes littéraires et poétiques, telle la fameuse épopée de Gilgamesh.
Dès lors, à partir de la Mésopotamie, le cunéiforme se répandra, dès le IIe millénaire, dans tout le Proche-Orient :

• du golfe arabo-persique à la Méditerranée,
• de l'Iran au Caucase,
• jusqu'à l'Asie Mineure et la Palestine.

Le système cunéiforme, sous l'emprise de scribes de plus en plus savants, se complique et s'alourdit. Il commence alors à régresser, tandis qu'apparaissent, ici et là, d'autres façons d'écrire.

En un rien de temps, à l'échelle de l'Histoire, le monde arabe parvint à associer à sa culture traditionnelle un savoir moderne d'une ampleur considérable. Durant sept siècles, durée à peine moins longue que celle qui sépare Thaïes de Ménélaos, ce fut dans cette région du monde que les sciences prospérèrent. Alexandrie avait eu ses Ptolémées, Bagdad eut ses califes amoureux des arts et des sciences.

Al-Ma'mun. Un calife rationaliste ! Adepte passionné d'Aristote, qui haïssait les intégristes qu'il pourchassa tout au long de son règne. Ayant remporté une victoire sur les armées byzantines, Al-Ma'mun proposa un étonnant échange à l'empereur d'Orient : les prisonniers contre des livres ! Le marché fut conclu : un millier de guerriers chrétiens libérés par les Arabes regagnèrent Constantinople tandis qu'en sens inverse une dizaine d'ouvrages rarissimes, fleuron des bibliothèques byzantines, arrivaient à Bagdad.

 Parmi les ouvrages, il en était un qui allait avoir une importance capitale pour les savants arabes, le Siddhantha, un traité d'astronomie avec ses tables, écrit un siècle plus tôt par un mathématicien indien, Brahmagupta*. Immédiatement traduit en arabe, il sera célèbre sous le nom de Sindhind. Dans ses pages, un trésor. Dix petites figures ! Il s'agit des dix chiffres avec lesquels nous calculons ! un, deux, trois... jusqu'à neuf. Sans oublier le dernier, le zéro ."Eka, dva, tri, catur, panca, sat, sapta, asta, nava".
Le zéro est représenté par un petit rond. Pourquoi un rond ? On ne le sait pas vraiment. Par contre, on sait que, traduit en arabe, çunya devient sifr qui, traduit en latin, devint zéphirum qui, traduit en italien, donna zéphiro. Et de zéphiro à zéro, il n'y a pas loin. Et le nom du zéro, sifr, devint celui de tous les chiffres. Le zéro, "ce rien qui peut tout"

Pratiquement tous les peuples ont possédé une numération, c'est-à-dire une façon d'inscrire les nombres. Certaines très efficaces, d'autres poussives comme la numération romaine, par exemple. Dans la plupart d'entre elles, la valeur d'un chiffre est indépendante de la position qu'il occupe dans l'écriture du nombre : le « X » de la numération romaine vaut « dix » où qu'il se trouve. Ainsi, « XXX », c'est « trente », dix plus dix plus dix.

Pour la numération de position, c'est tout le contraire, la valeur d'un chiffre dépend de la position qu'il occupe dans l'écriture du nombre. En un mot, la place « compte » 1 vaut un, dix ou cent suivant qu'il occupe la dernière, l'avant-dernière, ou l'avant-avant-dernière place. Et le 1 de 1 000 vaut plus que les trois neuf de 999 ! La numération indienne accomplit un véritable prodige, plus admirable encore que celui de l'alphabet. Avec une poignée de signes (exactement autant que de doigts de nos deux mains), elle permet de représenter TOUS LES NOMBRES DU MONDE ! Voilà ce qu'ont inventé les Indiens.
C'est dire leur avance en ce domaine sur toutes les autres civilisations. Aujourd'hui, tout le monde utilise ces chiffres. S'il y a une invention qui a eu une destinée universelle, c'est bien celle-là.

Lorsque ces chiffres sont arrivés à Bagdad, les Arabes les ont appelés les figures indiennes. Un mathématicien, membre de la Maison de la Sagesse, a rédigé un traité pour les faire connaître et pour décrire la façon de les utiliser. C'est par lui que les Arabes ont connu les chiffres indiens. Plusieurs siècles plus tard, le livre a été traduit en latin. Ce fut l'un des plus grands best-sellers de la fin du Moyen Age !
C'est par cet ouvrage qu'en France, en Italie, en Allemagne, on les a découverts. Et puis ils se sont répandus dans tout l'Occident. Et comme c'est par l'entremise des Arabes que les chrétiens les ont connus, ils les ont nommés « chiffres arabes ».

*Brahmagupta est sans doute l'un des mathématiciens indous les plus connus.

Né dans le nord-ouest de l'Inde, il passe la plupart de sa vie dans la ville de Bhillamala (actuellement Bhinmal, au Rajasthan). Il dirige l'observatoire astronomique d'Ujjain, grand centre de recherche en mathématiques au VIIe siècle.

Ses deux ouvrages d'astronomie les plus célèbres sont le Brahma-sphuta-siddhanta (628), un livre dont deux chapitres sont consacrés à l'algèbre et à l'arithmétique, et Khandakhadyaka (665). Dans le chapitre 18 du Brahma-sphuta-siddhanta, le savant traite des différentes opérations avec le zéro qu'il définit comme le résultat de la soustraction d'un nombre par lui-même, des nombres irrationnels, des équations quadratiques, des équations à plusieurs inconnues et des solutions partielles d'équations du second degré à deux inconnues. L'ouvrage atteindra Bagdad grâce à al-Fazari qui le traduit en arabe vers 771 sous le titre de Al-Zij al-Sindhind al-kabir. L'introduction de ces nouveaux concepts mathématiques aura une grande répercussion sur la science dans le monde musulman des VIIIe et IXe siècles.

Brahmagupta s'attaque également à la détermination du volume d'un prisme et l'aire d'un quadrilatère inscrit à l'intérieur d'un cercle et la somme de séries de nombres. En astronomie, il étudie les éclipses solaires et lunaires, les positions des planètes et estime la durée d'une année à 365 jours, 6 heures 5 minutes et 19 secondes.